Tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow\) góc B + góc C = 90 độ

Tam giác ABH vuông tại H \(\Rightarrow\) góc B + góc BAH = 90 độ

Suy ra góc C = góc BAH (cùng phụ góc B)

a. Xét tam giác vuông BKH và tam giác vuông BCA có:

+ BK = BC (gt)

+ B là góc chung

=> tam giác vuông BKH = tam giác vuông BCA (cạnh huyền + góc nhọn )

=> KH = AC ( 2 cạnh tương ứng )

b. Theo Cm ý a. ta có :  tam giác vuông BKH = tam giác vuông BCA

=> BA = BH (  2 cạnh tương ứng ) (*)

Xét tam giác vuông BEH và tam giác vuông BEA có:

+ BA = BH ( theo * )

+ Cạnh BE chung

=> Tam giác vuông BEH = tam giác vuông BEA

=> góc ABE = góc HBE ( 2 góc tương ứng )

c.tự làm nhé :)

c. Theo Cm ý b. ta có Tam giác vuông BEH = tam giác vuông BEA

=> EA = EH ( 2 cạnh tương ứng ) (**)

 Xét tam giác vuông AEK và tam giác vuông HEC có :

+ EA = EH ( theo ** )

+ góc AEK = góc HEC ( đối đỉnh )

=> tam giác vuông AEK = tam giác vuông HEC ( cạnh góc vuông + góc nhọn )

=> EK = EC ( 2 cạnh tương ứng ) (***)

Xét tam giác AEK có góc A là góc vuông 

=> góc A là góc lớn nhất trong tam giác 

Mà EK đối diện với góc A

=> EK là cạnh lớn nhất trong tam giác AEK

=> EK > EA 

Lại có : EK = EC ( theo *** )

=> EC > EA 

=> AE < EC

a) Xét 2 tam giác vuông ABC và HBK có

góc HBK = góc ABC ( đối đỉnh)

KB=BC (gt)

=> hai tam giác này bằng nhau(chcgv)

b) Xét 2 tam giác vuông HBE và ABE có 

BE cạnh chung

HB=BA ( cm câu a)

=. 2 tam giác ấy bằng nhau (chgn)

=> góc EBA=góc HBE 

=> BE là tia p/g của góc ABH

Kẻ phân giác IH của \(\widehat{BIC}\)

Ta có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}=120^0\)

Mà BI,CI là phân giác \(\widehat{ABC};\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=60^0\)

Xét tam giác IBC: \(\widehat{BIC}=180^0-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BIH}=\widehat{CIH}=\dfrac{1}{2}\widehat{BIC}=60^0\)

Lại có \(\widehat{BIE}=\widehat{DIC}=180^0-\widehat{BIC}=60^0\) (kề bù)

Do đó \(\widehat{BIH}=\widehat{CIH}=\widehat{BIE}=\widehat{DIC}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BIH}=\widehat{BIE}\\BI\text{ chung}\\\widehat{IBE}=\widehat{IBH}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta BEI=\Delta BHI\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow EI=HI\left(1\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{CIH}=\widehat{DIC}\\CI\text{ chung}\\\widehat{HIC}=\widehat{DIC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta CDI=\Delta CHI\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow DI=HI\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow IE=ID\)

a, Xét hai tam giác vuông AIB và tam giác vuông EIB có

               góc AIB = góc EIB = 90 độ

               cạnh BI chung

               góc ABI = góc EBI [ GT ]

Do đó ; tam giác AIB = tam giác EIB [ g.c.g ]

b .Theo câu a ; tam giác AIB = tam giác EIB 

\(\Rightarrow\)AB = EB [ * ]

Xét tam giác ABD và tam giác EBD có

             cạnh BD chung

             góc ABD = góc EBD [ gt ]

              AB = EB [ theo * ]

Do đó ; tam giác ABD = tam giác EBD [ c.g.c ]

\(\Rightarrow\)góc BAD = góc BED [ góc tương ứng ]

mà bài cho góc BAD = 90 độ

\(\Rightarrow\)góc BED = 90 độ

Vậy DE vuông góc với BC 

c.Xét tam giác ADK và tam giác EDC có

                AD = ED [ vì tam giác ABD = tam giác EBD ]

               góc ADK = góc EDC [ đối đỉnh ]

               góc DAK = góc DEC = 90 độ

Do đó ; tam giác ADK = tam giác EDC [ g.c.g ]

\(\Rightarrow\)AK = EC 

mà AB = EB

\(\Rightarrow\)AK + AB = EC + EB 

\(\Rightarrow\)BK = BC 

vậy tam giác BKC là tam giác cân tại B

\(\Rightarrow\widehat{K}=\widehat{C}=\frac{180^0-\widehat{B}}{2}\)[ 1 ]

Vì AB = EB nên tam giác ABE là tam giác cân tại B 

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{E}=\frac{180^0-\widehat{B}}{2}\)[ 2 ]

Từ [ 1 ] và [ 2 ] suy ra 

góc A = góc K [ ở vị trí đồng vị ]

Vậy AE // CK

Chúc bạn học tốt

Ta có: \(tan\frac{B}{2}=\frac{x}{c}\)

Lại có \(AB=BH=c\Rightarrow HC=a-c\)

Ta có: \(DC^2=DH^2+DC^2\Rightarrow\left(b-x\right)^2=x^2+\left(a-c\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2-2bx+b^2=x^2+\left(a-c\right)^2\Rightarrow x=\frac{b^2-\left(a-c\right)^2}{2b}=\frac{a^2-c^2-a^2+2ac-c^2}{2b}\)

\(=\frac{2ac-2c^2}{2b}=\frac{c\left(a-c\right)}{b}\)

\(\left(\frac{x}{c}\right)^2=\frac{\left(a-c\right)^2}{b^2}=\frac{\left(a-c\right)^2}{a^2-c^2}=\frac{a-c}{a+c}\)

\(\Rightarrow tan\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{a-c}{a+c}}\)

ko biet

\(DC^2=DC^2+DC\) hả bạn